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É esta uma secção permanente, aberta pelos Serões,
onde terão cabimento todos os problemas de diversas índoles que
possam exercitar as faculdades do raciocínio. Os Serões convidam os
seus leitores para nela colaborarem com quaisquer problemas,
enviando-nos desde logo as respectivas soluções, por isso que a
redacção não aspira, por falta de tempo, ao justo orgulho de as
encontrar. A fim de compreenderem bem a índole das questões que
especialmente nos convêm, publicamos o seguinte interessante artigo
sobre o que vulgarmente se chama perguntas de algibeira, muitas das
quais são verdadeiramente intrincadas. E em seguida encetaremos os
nossos apelos à inteligência dos leitores.
Fique bem assente no entretanto que não é
propriamente com charadas, enigmas e logogrifos que pretendemos
encher esta secção, embora um ou outro desses exercícios de
raciocínio se possa impor à nossa atenção pela sua originalidade e
pelo seu engenho. Pelo artigo que hoje ocupa esta secção perceberão
melhor os leitores quais sejam os nossos desejos, conformes,
queremos crer, aos seus interesses intelectuais.
Perguntas de algibeira
Há uma espécie de perguntas, do género das que nós
costumamos chamar perguntas de algibeira, capazes de atrapalhar os
miolos mais bem organizados, quando afinal a resposta é de uma
simplicidade extrema, tendo apenas no inesperado a dificuldade. Está
neste caso, por exemplo, o problema com que o rei de Inglaterra
Jaime I atarantou os mais atilados espíritos do seu tempo. Era ele o
seguinte: «Porque é que, quando se introduz um peixe dentro de um
balde, cheio de água até à borda, a água não extravasa?»
Aventaram-se dezenas de teorias, qual delas a mais
engenhosa, para explicar o extraordinário fenómeno. E afinal de
contas os sábios do século XVII não atinaram com a verdadeira
solução do problema, com que o rei inglês zombou deles. Porque o
facto que serve de base à pergunta é absolutamente falso; a água do
balde extravasa, no caso sujeito, como facilmente se pode verificar.
Podiam-se apontar numerosos exemplos do mesmo género, de perguntas
de armadilha, cuja resposta correcta é simplesmente:
«Não é Verdade.»
Outros problemas há, parecidos com este, que têm
desorientado completamente indivíduos a quem não cabe a reputação de
tolos. Apresentamos como exemplos os seguintes, talvez ainda não
muito conhecidos:
«Uma peça de seda tem 20 metros de comprido.
Cortando-se-lhe todos os dias um metro, em quantos dias ficará ela
toda dividida em pedaços de um metro de comprido?»
«Um homem trepa por um mastro ensebado, de vinte
metros de altura. Num minuto sobe dois metros, depois descansa no
minuto seguinte, durante o qual escorrega três quartas partes da
distância que venceu. Por este andar, quanto tempo levará ele a
chegar ao cimo do mastro?»
A maior parte da gente responderá sem hesitação, 20
dias à primeira pergunta e 40 minutos à segunda. E no entanto as
respostas correctas são 19 e 37. O homem que trepa pelo mastro vence
meio metro em cada dois minutos. Portanto, no fim de 36 minutos,
está ele a dois metros do extremo. No fim do 37.º minuto chega ao
cimo e deixa-se ficar.
Aqui têm agora os leitores outro problema / 78 / que
demanda noções elementares de geometria:
«Tinha no meu quarto uma pequena fresta com meio
metro de altura e meio metro de largura, por onde entrava muito
pouca luz. Em consequência de certos pormenores de construção, não
me era possível aumentar-lhe a altura nem a largura. Apareceu-me
nisto um amigo que me ensinou a maneira de lhe duplicar a área sem
lhe alterar as dimensões. De que maneira foi?»
É simples, por mais complicado que pareça. A fresta
era um quadrado com as diagonais nos sentidos horizontal e vertical.
As linhas horizontais e verticais que passam pelos vértices formam
um quadrado cuja área é dupla da primitiva fresta, sem lhe
acrescentar nem a largura nem a altura.
PROBLEMAS DE SOLUÇÃO DUVIDOSA OU PARADOXAL
Para encontrar a solução exacta dos problemas
precedentes basta apenas alguma reflexão. Outros existem contudo que
são menos fáceis de deslindar e que deixam campo aberto à discussão.
Por exemplo o seguinte:
«Suponham um homem a andar à roda de um mastro, no
cimo do qual está sentado um macaco. À proporção que o homem anda, o
macaco gira sobre si e vira constantemente o focinho para eIe.
Quando o homem completou a volta à roda do mastro, deu ou não deu a
volta à roda do macaco?»
A maior parte da gente será porventura de opinião que
o homem não deu volta à roda do macaco, visto que o viu sempre de
frente; mas não faltam indivíduos autorizados de parecer contrário.
Entendem eles que o homem girando em redor do mastro, andou também
necessariamente em volta do macaco.
«Como se demonstra que um navio de vela pode andar
com velocidade superior à do vento que o impele?»
À primeira vista, o leitor circunspecto, mas pouco
versado em assuntos náuticos, imaginará que a pergunta se funda num
absurdo, como aquela com que Jaime I conseguiu atordoar os sábios do
seu tempo. Mas para um marítimo, a pergunta tem toda a razão de ser.
Um navio de vela pode realmente andar mais depressa do que o vento.
Sucede, por exemplo, ele navegar à razão de quinze milhas por hora,
ao passo que o vento não tem velocidade superior a dez milhas. É
este um facto que todos os dias se prova na prática; mas, embora
verdadeiro, não há muitos embarcadiços que tenham facilidade de lhe
dar uma explicação clara. É evidente que, quando o navio vai de
vento em popa, não é admissível que ele ande mais que o vento.
Nesse caso, seja qual for o motivo, a sua velocidade
será sempre muito menor. Mas quando a sua derrota faz um ângulo com
a direcção do vento, quando navega à bolina ou a um largo, por
paradoxal que o facto se possa afigurar às pessoas alheias à
náutica, a velocidade do navio excede, muitas vezes, a do vento.
A demonstração pode dar-se por analogia, em cima de
um bilhar. Coloque-se a rabeca ao longo das tabelas. Suponham que
essa rabeca movida pela força do braço representa o vento. Se nesse
movimento, de um extremo a outro do bilhar, ela encontrar uma bola,
é claro que a impelirá pelo tabuleiro fora, exactamente como o vento
impeliria um navio adiante de si, na mesma direcção. A rabeca e a
bola caminharão com velocidade perfeitamente idêntica.
Mas imaginem agora que de canto a canto do tabuleiro
se abre um entalhe diagonal, onde a bola está colocada. Quando a
rabeca nesse caso encontrar a bola, há de empurrá-la
necessariamente, não no sentido do comprimento do tabuleiro, mas no
sentido diagonal para a bolsa que fica no extremo do entalhe. Ora
enquanto a rabeca percorre um caminho igual ao comprimento do
tabuleiro, a bola percorrerá a diagonal traçada pelo entalhe, o que
representa uma distância muito maior. É precisamente de uma maneira
análoga que um navio de bolina ou a um largo, consegue ter uma
velocidade superior à do vento.
PROBLEMAS DE CAMINHOS DE FERRO
Muitos problemas excelentes têm sugerido o caminho de
ferro. Aqui têm um que não é tão fácil de resolver como à primeira
vista se afigura:
«Às dez horas da manhã, sai um comboio de Lisboa para
o Porto com a velocidade de cinquenta quilómetros por hora. Ao mesmo
tempo sai do Porto para Lisboa outro comboio / 79 / com a velocidade
de quarenta quilómetros por hora. Qual dos comboios estará mais
perto de Lisboa quando os dois se encontrarem?»
A maior parte da gente a quem se dirige esta pergunta
– e o leitor entra sem dúvida na minoria dos atilados – começará
imediatamente a fazer cálculos sobre a distância a que cada um dos
comboios estará do ponto de partida no momento em que se encontram.
É evidente que o comboio mais rápido, o que sai de Lisboa, há de ter
vencido muito mais do que metade da distância que separa os dois
pontos extremos, no momento em que encontra o outro, mais vagaroso,
que saiu do Porto. Mas afinal tudo isto é perder tempo. A velocidade
dos dois comboios, assim como a hora a que eles partiram, são
elementos absolutamente desnecessários para a resposta formal.
Quando os comboios se encontram, é claro que eles não podem deixar
de estar à mesma distância dos pontos de partida ou de chegada,
qualquer que seja a sua velocidade. Basta que o leitor compreenda
bem a pergunta para dar uma resposta satisfatória. E, por simples
que o caso pareça, pode gabar-se da sua esperteza; porque não faltam
pessoas de são juizo a quem este problema tem atrapalhado
ignominiosamente.
De um carácter semelhante é outra interessante
pergunta de algibeira.
«De hora em hora sai de Lisboa um comboio para Faro,
e sai outro de Faro para Lisboa. A distância entre as duas cidades é
percorrida em dez horas à justa. Quantos comboios encontrará no
caminho um viajante que saia de Lisboa ao meio dia, antes de chegar
ao seu destino?»
À pergunta, na aparência simples, não há talvez
muitos leitores que dêem de pronto a resposta correcta. Entre dez a
quem o problema se proponha pela primeira vez, nove declararão sem
hesitar que o número de comboios encontrados é doze. Ao décimo é que
talvez ocorra a circunstância de que no momento de partir um comboio
de Lisboa ao meio-dia, já estão em caminho doze que partiram de
Faro, a começar pelo que saiu de lá à meia-noite. O viajante deve
pois encontrar estes doze, além dos outros doze que hão de sair de
Faro ao meio dia e de hora em hora daí por diante, até que ele
chegue ao seu destino. Portanto, a resposta correcta é vinte e
quatro e não doze.
Para cismar
Começamos a apelar, por meio dos problemas seguintes,
para o engenho dos leitores dos Serões.
Toda a correspondência relativa a esta secção deve
ser dirigida para o «Director do Quebra-cabeças dos Serões». É esta
a forma prática de lhe dar mais rápido andamento.
E vamos agora a matutar.
UM PARADOXO ARITMÉTICO
Ora custa-nos a crer, por mais evidente que se nos
afigure a demonstração, que a aritmética esteja desde o começo do
mundo a enganar-nos, / 80 / dando-nos noções absolutamente inexactas
sobre a diferenciação dos números. Portanto, devemos supor que algum
artifício ou alguma inexactidão houve no decurso da demonstração
acima desenvolvida. Vejam agora os leitores se descobrem onde está o
busílis. Cá estão os Serões prestes a receber todas as
respostas.
UM PARADOXO GEOMÉTRICO
Depois da aritmética, a geometria. Aqui têm uma nova
demonstração de um princípio, evidentemente absurdo, segundo as
noções científicas vindas de tempos imemoriais,
O princípio é o seguinte:
«Duas circunferências de raios diferentes e com
centro comum têm uma extensão exactamente igual quando
rectificadas».
Vamos agora à demonstração deste teorema original.
Suponhamos que os dois círculos da figura, formando
sistema, rolam sobre a linha A a, como se fizessem parte de uma roda
cujo eixo passa por C.
Quando o ponto A, depois de dar a volta completa toca
de novo na linha de rolamento, em a, é claro que a distância A a,
entre dois pontos de tangência, equivale à circunferência
rectificada, Mas nesse momento o ponto B deu igualmente a volta
completa e encontra-se agora em b. Semelhantemente, é pois a
distância B b igual à circunferência interior rectificada. Ora, como
essas distâncias são indubitavelmente iguais, segue-se daí a
igualdade das duas circunferências.
Onde é que se encontra a falha do raciocínio? Saberão
indicá-la os leitores matemáticos?
ONDE IRÁ PARAR?
Suponhamos – salvo seja! – que um novo dilúvio
transforma o hemisfério norte num imenso Oceano. Nestas
circunstâncias, sem ter terras nem baixos que lhe estorvem a
derrota, um navio parte de um ponto qualquer do Equador, seguindo
sempre com o rumo invariável de nordeste. Pergunta-se apenas:
qual será o termo da sua viagem? Isto agora é com os
geógrafos.
ARTES MÁGICAS
Na maior parte das habilidades feitas com o auxílio
de um compadre, o essencial é que esse compadre não se descubra. Mas
aqui têm o exemplo de uma habilidade mágica, em que o compadrio se
pode confessar à vontade. O ponto é descobrir-se como é que os
cúmplices se entendem.
Suponhamos que um certo número de pessoas estão
reunidas na casa de jantar com a mesa ainda posta. Sai uma delas,
comprometendo-se a adivinhar qualquer número de três algarismos que
as outras pensem, Quando ela volta, o compadre pega num talher por
exemplo, e coloca de uma maneira misteriosa, em cima da mesa, a
colher, o garfo e a faca, unidos por um dos extremos, como se fossem
raios do mesmo círculo – e o bruxo declara imediatamente qual é o
número combinado.
A solução é simples, embora um pouco difícil de
descobrir. Os dois amigos imaginam que cada uma das peças do talher
é o ponteiro de um relógio, apontando para o sítio onde deveria
estar uma certa hora, e os três algarismos assim indicados formam o
número requerido. Suponhamos que a ordem previamente combinada é a
alfabética: colher, faca, garfo. A colher aponta para VI, a faca
para III, o garfo para IX. O número é 639.
E assim se maravilha uma sociedade.
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