Núcleo de Estágio de Matemática 2002/03


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Escola Secundária José Estêvão

Folha de Matemática n.º 3
Fevereiro de 2003


 

Soluções

Problema 1

Construindo as mediatrizes dos lados do triângulo, verificamos que estas se intersectam no ponto médio da hipotenusa. Assim, num triângulo rectângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. 


De facto, o ponto C pertence à circunferência de diâmetro , pois esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos P tais que  (ângulos inscritos numa semi-circunferência). 

 

Problema 2

Num triângulo equilátero as alturas e as medianas coincidem e estão contidas nas mediatrizes, logo intersectam-se no mesmo ponto e, portanto, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro são coincidentes.

 

Problema 3

Unindo com segmentos de recta os pontos médios dos lados de um qualquer quadrilátero obtém-se um paralelogramo. 

Este resultado pode ser facilmente demonstrado, recorrendo a vectores e às propriedades das operações entre vectores. 

Provemos que  é um paralelogramo.  
Consideremos os
vectores    

Temos que 

e, por outro lado,  

Então,

De forma análoga, considerando que 

se mostra que

Podemos então concluir que os lados opostos do quadrilátero são iguais e paralelos, pelo que é um paralelogramo.

 

 

Problema 4

Se o aventureiro efectuou o deslocamento descrito chegou ao ponto inicial, então teria que se encontrar no Pólo Norte, logo o urso era branco.

 


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