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Soluções
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Problema 1
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Construindo
as mediatrizes dos lados do triângulo, verificamos
que estas se intersectam no ponto médio da
hipotenusa. Assim, num triângulo rectângulo, o
circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
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De
facto, o ponto C pertence à circunferência de diâmetro
,
pois esta circunferência é o lugar geométrico dos
pontos P tais que
(ângulos
inscritos numa semi-circunferência). |
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Num
triângulo equilátero as alturas e as medianas
coincidem e estão contidas nas mediatrizes, logo
intersectam-se no mesmo ponto e, portanto, o
ortocentro, o baricentro e o circuncentro são
coincidentes. |
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Unindo
com segmentos de recta os pontos médios dos lados
de um qualquer quadrilátero obtém-se um
paralelogramo. |
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Este
resultado pode ser facilmente demonstrado,
recorrendo a vectores e às propriedades das operações
entre vectores. |
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Provemos
que
é um
paralelogramo.
Consideremos
os
vectores 
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Temos
que 
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e,
por outro lado,
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Então,
De forma
análoga, considerando que 
se
mostra que 
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Podemos
então concluir que os lados opostos do
quadrilátero
são iguais e paralelos, pelo que
é um paralelogramo. |
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Se
o aventureiro efectuou o deslocamento descrito chegou ao
ponto inicial, então teria que se encontrar no Pólo
Norte, logo o urso era branco. |
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