Estas «mal alinhavadas regras», como soe dizer-se a propósito de tantas coisas, têm, como todas as outras, a sua razão de ser: este ano... da graça de 1951, em plenos exames de admissão, como faço sempre que posso, tentei, mais uma vez, verificar até que ponto os alunos — candidatos à matrícula no primeiro ano — eram capazes de utilizar, na Matemática, que é fundamental, o cálculo em vez do giz. E, como cada problema que ponho a cada criança é sempre um teste, e não uma série de contas, com factores de palmo e meio, como, às vezes, vejo fazer e oiço dizer que se faz, tentei, num dia em que a assistência, sobretudo de professores, era maior, demonstrar que aquilo que eu pedia era absolutamente acessível a qualquer cérebro de DEZ ANOS. A criança — menina — com quem fiz a experiência, vinha das provas escritas apenas com suficientes, o que me não dava o direito, nem a ninguém, de a considerar inteligente. Antes pelo contrário.

Propus-lhe multiplicar, salvo erro, 12 por 15. 

Não o fez. Tentei outros dois factores. O mesmo resultado. Perguntei-lhe, então: mas queres aprender isto, num instante? Resposta pronta «quero».

Ensinei a primeira vez. Tentei a segunda. Exemplifiquei uma terceira; e, à quarta, disse-lhe: faz tu agora. Executou 1, 2, 3... 4 exercícios do mesmo género, mentalmente, com rapidez. Nesta altura, não me tive que me não voltasse para a assistência; particularmente professores, e não dissesse: vêem os Senhores que isto é simples?

Ninguém deixou de perceber. Muitos gostaram, e alguns me perguntaram, no fim dos exames: mas onde ver isto tudo? Aqui o têm.

Claro que não é uma coisa perfeita, nem completa, que cada um pode arranjar a mesma coisa, tão simples quanto lhe parecer, tanto mais que isto foi, pode dizer-se, feito sobre o joelho. Só tem uma coisa que vale, esta colecçãozinha de regras: a intenção... e a pretensão de querer ser claro e simples.

Aveiro, 1952.

 

Na adição

 

ADIÇÃO DE 2 OU MAIS NÚMEROS, DE DEZENAS, CENTENAS, MILHARES, ETC.

 

Para a realizarmos, mentalmente, basta juntar as unidades da mesma espécie, e acrescentar à soma igual n.º de zeros.

Assim:

50+80+90= (5+8+9) 10 =22x10 = 220;

700+900+600= (7+9+6) 100 = 22x100 = 2200;

2000+3000+5000= (2+3+5) 1000 = 10x1000 = 10000, e assim sucessivamente.

 

ADIÇÃO DE DOIS N.ºs QUAISQUER, INTEIROS

Executa-se facilmente, decompondo um deles. Exemplos:

925+42 = 925+40+2 = 965+2 = 967;

3428+122 = 3428+100+20+2 = 3528+20+2 = 3548+2 = 3550;

5876+924 = 5876+900+20+4 = 6776 +20 + 4 = 6796+4 = 6800;

 

ADIÇÃO DE UM N.º INTEIRO COM OUTRO DECIMAL

Para isso, procede-se identicamente.

Assim: 723+0,45=723,45

952+0,012=952,012.

 

ADIÇÃO DE DOIS OU MAIS N.ºS DECIMAIS

Procede-se como se fossem inteiros, tendo, no fim, o cuidado de dividi-lo pelo maior n.º de casas decimais.

Exemplos: 0,48+0,034 = (480+30+4):1000 = (510+4):1000=514:1000=0,514

 

ADIÇÃO DE VÁRIOS NÚMEROS

Decompõem-se os mais pequenos, e procede-se de igual forma.

Assim: 624+38+95=624+30+90+8+5=624+120+13-:-744+13=757;

7200+85+341=7200+300+80+40+5+1=7500+120+6=7620+6=7626;

628+142+0,45 = 628+100+40+2+0,45=728+42+0,45=770+0,45=770,45.

 

Na subtracção 

Se dois números são compostos só por dezenas, centenas, milhares, etc., procede-se, na subtracção mental, da maneira inversa do da soma.

Exemplos: 90-20=(9-2) 10=70;

800-500= (8-5) 100=300;

16000-7000= (16-7) 1000=9000.

 

No caso de se tratar de 2 n.ºs quaisquer, é fácil, se se proceder ao invés da soma.

Assim: 945-120=945-20-100=925-100=825;

         7973 - 342=7973-2-40- 300=7971-40-300=7931-300=7631

 

 

Na multiplicação

MULTIPLICAÇÃO POR 10, 100, 1000, ETC.

Para multiplicar um número inteiro, por 10, 100, 1000, 10000 etc. basta acrescentar-lhe 1, 2, 3, 4 zeros. Assim:

45x10=450; 3525x100=352500; 170x1000=170000, etc.

 

Se o número for decimal, basta, para o multiplicar por 10, 100, etc. andar com a vírgula, 1, 2, 3 casas decimais (tantas quanto o número de zeros).

         Exemplos: 4,2 xl00=420; 3,453x1000=3453, etc., etc.

 

MULTIPLICAÇÃO POR 11

Multiplica-se um número qualquer por 11, escrevendo, à direita do multiplicando, o seu 1.º algarismo da direita, a seguir a soma deste com o seguinte, ou seja com o segundo, depois a soma do segundo com o terceiro, do terceiro com o quarto, e assim por diante.

Suponhamos o produto de 728x11=8008, ou seja 8; 8+2; 1+2+7; 1+7

         Do mesmo modo 7275x11=80025.

 

MULTIPLICAÇÃO POR 111

Suponhamos 624x111=69264

Como se procedeu? Da mesma maneira que quando se multiplicou por 11.

Simplesmente, na multiplicação por 111, cada um dos algarismos do mu1tiplicando, em vez de entrar, no produto, 2 vezes, entrará 3.

         Teremos, pois:

         4; 4+2; 4+2+6; 1+2+6; 6, ou seja 69264

         Multiplicação por 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 ou por 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.

Sabido, como é, que 2x11=22; 3x11=33 e que 2x111=222; 3x111=333, etc., etc. fácil é executar, mentalmente, qualquer destes produtos. Exemplifiquemos:

         956x55=956x5x11=4780x11=52580;

3225x333=3225x3x111=9675x111=1.073.925.

         Da mesma maneira se operará se, em vez de se multiplicar qualquer número por 111, se multiplicar por 1111, 11111, etc, ou por 3333, 44444, etc.

 

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR 12, 13, 14, 15, ETC. ATÉ 20

Se os 2 factores são, ambos, inferiores a 20, procede-se da seguinte maneira, rapidamente: a um deles, juntam-se as unidades do outro, multiplica-se esta soma por 10 e junta-se, a este produto, o produto das unidades dos dois. Assim:

12x13=(13+2) 10+6=150+6=156

ou (12+3) 10+6=156.

15x18=(18+5) 10+40=230+40=270

Se um dos factores é maior do que 20, então procede-se de qualquer das maneiras seguintes: ou,

1.º se faz o produto de cada um dos algarismos do multiplicando por 12, 13, 14, etc., escrevendo-se os produtos da direita para a esquerda, assim:

634x12=7608

12x4=(4)8

12x3=36+4=(4)0

12x6=72+4=76

 

985x14=13790

14x5=(7)0

14x8=112+7=(11)9

14x9=126+11=137

 

2.º ou se multiplica o multiplicando por 10 e por 4 (se a multiplicação for 14, p. ex.) e se juntam, ou somam os dois produtos. Exemplos:

 

645x14=6450+2580=9030

ou, 3.º se decompõe o mais pequeno em 2 factores — quando isso é possível — e se fazem os produtos, sucessivamente, como em

675x14=675x7x2=4725x2=9450,

o que, quase sempre, é possível e fácil.

No caso de um dos factores ser 15, pode, ainda, proceder-se da seguinte forma: multiplica-se o multiplicando por 10 e junta-se ao produto obtido mais metade deste, pois que 15=10+5.

Exemplo: 748x15=7480+3740=11220.

 

MULTIPLICAÇÃO POR 25 

         Sabido, como é, que 25=100/4, fácil se torna, a qualquer pessoa, considerar o multiplicando multiplicado por 100, e achar-lhe a quarta parte.     

Exemplo: 6942x25= 694200/4=173550.

Claro que o mesmo produto se obterá, se multiplicarmos 6942x5x5=34710x5=173550 visto que 25=5x5.

 

MULTIPLICAÇÃO POR 125

Este número, 125, é igual a 1000/8,

Logo, não teremos mais, para isso, do que multiplicar o multiplicando por 1000, e, ao produto, achar-lhe um oitavo. Assim, por exemplo:

888x125= 88888000/8=111000;

74856x125=9357000.

 

MULTIPLICAÇÃO POR 99, 999 9999. ETC.

Antes de mais nada, veja-se que 99=100-1; 999=1000-1 e 9999=10000-1. Sendo assim, significa isto que podemos multiplicar o multiplicando por 100, 1000, 10000, etc., e subtrair, ao produto, uma vez o multiplicando.

Exemplifique-se:

         4686x99=468600-4686=463914

         728x999=728000-728=727272; etc.

E não deixa de ser fácil, mesmo antes de executar o produto, saber-se de quantos algarismos este há de constar: compor-se-á de tantos, ou tantos menos um, quantos forem os algarismos dos 2 factores, Ora veja-se:

  Mas isto quando?

Repare-se que os 2 algarismos da esquerda — do multiplicando e do multiplicador — multiplicados entre si —16 — dão um número de 2 algarismos, Quando isto acontece, o produto terá um número de algarismos igual à soma dos dois, multiplicando e multiplicador.

No caso contrário, isto é, de o produto dele ser apenas de 1 algarismo, o produto terá tantos, menos um, quantos os algarismos do multiplicando e do multiplicador, somados.

Além destas regras, e doutras idênticas, inúmeras são aquelas que podem servir para abreviar a multiplicação, bastando apenas um pouco de bom senso, e prática, que, evidentemente, se impõem.

Suponhamos, agora, aplicado por exemplo às fracções, o que acabamos de dizer, com respeito à multiplicação:

E, como estes, se resolvem todos os produtos, de que aqui ficam apenas três fáceis exemplos.

 

Na divisão

Por 10, 100, 1000, etc., de um número inteiro.

a) ou ele termina em zero, ou zeros, e, nesse caso, mais se não fará que eliminar um, dois, 3, etc. zeros; ou

b) termina em qualquer outro algarismo, e, então, dividir-se-á por 10, 100, 1000, etc., contando, por meio de vírgula, um, dois, 3 etc., dos algarismos da direita.

Exemplos:

Dividir o n.º 36000 por 10=3600;

por 100=360; por mil=36, e assim por diante.

Dividir por 10, 100, 1000, etc. o número 128645.

a) por 10=12864,5

b) por 100=1286,45

c) por 1000=128,645, etc.

 

Divisão por um n.º dígito: por 2, 3, 4, 5, etc.

Basta, para isso,  achar 1/3; 1/4; 1/5; 1/6, etc., desse número.

         Exemplos:   93672/2=46836

         93672/3=31224

         93672/4=24418

         93672/5=19534,4

 

DIVISÃO POR 25, 50, 75...

         Por 25: Dividir um número por 25 é o mesmo que dividi-lo por 100, e multiplicar, em seguida, o quociente por 4, visto que 25=100/4

         Nestes termos,

18775:25=187,75x4=751

ou, porque 25=5x5, podemos dividir esse número por 5, e ainda o quociente resultante novamente por 5. Assim,

         134650:25=26930:5=5386

 

Por 50: Como 50= 100/2, o caso é precisamente o mesmo que o antecedente: isto é, basta dividir o número proposto — dividendo — por 100, e multiplicar o resultado por 2. Exemplo:

6400:50=64x2=128

         No caso proposto, fica ainda campo para se praticar o que todos sabem já, ou que

         6400:50=640:5=128

Suponhamos, porém, que a simpatia do cálculo nos leva para outra maneira de proceder, ou seja para aplicar a decomposição em factores, visto que 50=2x5x5.

         Nesse caso, 9720: 50=4860:25=972: 5=194,4 ou ainda 9720: 50=972: 5=194,4

         Por 75: Sabido, como é, que 75=3/4x100, fácil é concluir que, para executar a divisão de um número qualquer por 75, basta achar a terça parte do resultado desse mesmo número dividido por 100, e multiplicar o quociente resultante por 4.

Exemplo: 16824:75=56,08x4=224,32

Se pretendemos o quociente, obtido por outro processo, praticamos como na divisão por 25, ou por 50, que o caso é o mesmo, isto porque 75=3x25, ou 3x5x5, ou ainda 3x15. É, ainda aqui, uma questão de simpatia. O resto... é uma brincadeira!

E vem agora a talhe de fouce dizer-se que, sempre que o divisor é decomponível em factores, o cálculo mental, na divisão, se torna simplicíssimo, sobretudo depois de se ter bem praticado com a multiplicação, que é, como há muito se sabe, a operação inversa da divisão.