É esta uma secção permanente, aberta pelos Serões, onde terão cabimento todos os problemas de diversas índoles que possam exercitar as faculdades do raciocínio. Os Serões convidam os seus leitores para nela colaborarem com quaisquer problemas, enviando-nos desde logo as respectivas soluções, por isso que a redacção não aspira, por falta de tempo, ao justo orgulho de as encontrar. A fim de compreenderem bem a índole das questões que especialmente nos convêm, continuamos neste número o interessante artigo sobre o que vulgarmente se chama perguntas de algibeira, muitas das quais são verdadeiramente intrincadas.

Fique bem assente no entretanto que não é propriamente com charadas, enigmas e logogrifos que pretendemos encher esta secção, embora um ou outro desses exercícios de raciocínio se possa impor à nossa atenção pela sua originalidade e pelo seu engenho. Pelo artigo que hoje continuamos nesta secção e pelos problemas que apresentamos sob o titulo «Para Cismar» perceberão melhor os leitores quais sejam os nossos desejos, conformes, queremos crer, aos seus interesses intelectuais.

Perguntas de algibeira

SOLVITUR AMBULANDO

Há problemas que têm o privilégio de irritar os nervos por causa da dificuldade real que se oculta sob a aparente facilidade. Tal é o seguinte:

«Se três serpentes, formando círculo, desatarem a engolir-se umas às outras, começando pela cauda, parece que o círculo deve diminuir gradualmente de diâmetro. Até que ponto irá parar por este processo, e que sucederá às cobras?»

O leitor que parafuse no caso, se estiver para isso.

A este problema se pode dar uma resposta análoga à famosa resposta dada por um rabugento ao célebre filósofo grego Zenon. Pretendia este engenhoso casuísta provar que não existia movimento, e a sua argumentação era a seguinte:

«Todos os corpos devem estar num ponto ou noutro. É impossível que um corpo esteja ao mesmo tempo em dois sítios, portanto é impossível que haja movimento.»

Parecia, e ainda parece, o argumento irrespondível. Mas a resposta do tal sujeito impaciente solvitur ambulando, «a solução é andar», é talvez afinal a melhor de todas as soluções. Quer dizer, em vez do raciocínio, a experiência que resolva o caso.

Muito semelhante a este é aquele velho enigma grego do veloz Aquiles e do Cágado. Ao passo que o Cágado vence a muito custo dez metros, Aquiles deixa cem metros atrás de si. Numa corrida de velocidade entre os dois, Aquiles dá ao Cágado cem metros de / 176 / partido, e nessas condições teimavam os escolásticos que Aquiles nunca poderia alcançar o seu pachorrento competidor. «Porque», diziam eles, «quando Aquiles completou os seus cem metros, o Cágado tem dez metros de dianteira. Enquanto Aquiles percorre esses dez metros, adianta-se Cágado mais um metro. Ao tempo em que Aquiles venceu esse metro, ainda o Cágado tem um decímetro de vantagem. Quando Aquiles avançar mais esse decímetro, está o Cágado um centímetro adiante dele. Por esta forma, o raciocínio pode prolongar-se infinitamente, demonstrando com a maior evidência possível que, apelar da velocidade superior, Aquiles há-de ser sempre distanciado pelo Cágado.» É claro que na argumentação há de haver uma falha, por isso que na prática a conclusão é sem dúvida oposta. É o caso do solvitur ambulando.
 

ATÉ AO INFINITO

É de natureza idêntica o seguinte problema:

«Um sujeito, que deve dez mil réis a outro, promete pagar segundo as seguintes condições. No primeiro mês dá-lhe cinco mil réis, no segundo dois mil e quinhentos, no terceiro mil duzentos e cinquenta, e assim sucessivamente, sendo cada pagamento igual a metade da importância do precedente. Supondo-se que o devedor tem sempre maneira de dar o equivalente exacto de cada prestação, em quanto tempo se realizará o pagamento total da dívida?»

Matematicamente, a resposta é nunca. Se fizerem a conta, verão que no fim do ano, a dívida ainda monta a dois reais e uma fracção inferior a metade. Se as prestações continuarem a ser feitas segundo a mesma proporção, e o credor e o devedor viverem até ao dia do juízo final, ainda nesse momento não estará saldada a divida, por infinitésima que seja a diferença a favor do credor.

Há quem diga que os burros são animais inteligentíssimos, talvez ainda levando vantagem aos cães. Mas, se dermos crédito a certos adeptos da lógica impreterível, o célebre burro de Buridan, colocado entre duas medidas de cevada exactamente iguais e exactamente à mesma distância do seu focinho, devia morrer de fome. Com efeito, não se oferece ao espírito daqueles sujeitos razão suficiente para que o burro preferisse a medida da direita à da esquerda, ou vice-versa.

E nestas condições o pobre do animalzinho seria vítima das suas faculdades lógicas. Mas nós estamos persuadidos que, por mais burro que fosse, ele mandaria a lógica à fava, e não permaneceria num estado de equilíbrio instável senão o tempo absolutamente preciso para se compenetrar da situação.

CÁLCULOS CURIOSOS

Há outra espécie de perguntas que levam a resultados curiosíssimos, explicando de um modo perfeitamente simples e natural muitas das pretendidas coincidências extraordinárias que maravilham as almas simples. Por exemplo:

«Como se prova que existem no mundo duas pessoas, pelo menos, que têm na cabeça exactamente o mesmo número de cabelos?»

Calculem pelo alto o máximo número de cabelos que podem crescer na cabeça de um indivíduo. Um milhão já é um número considerável, mas, para não haver dúvidas na cadeia da argumentação, suponham mesmo que se possam contar dez, cem milhões de cabelos num toutiço humano. Ainda assim ficarão muito abaixo do número que representa a população total do mundo. Admitido isto, está provada a asserção. Basta que o número de indivíduos exceda em dois a mais exorbitante avaliação do número de cabelos existentes em uma cabeça para que haja pelo menos dois indivíduos com o mesmo número de cabelos exactamente. Ainda supondo que existe um indivíduo careca como uma bola de bilhar, e que há cem milhões deles que possuem desde um cabelo até cem milhões, a cabeça do segundo homem que excede os cem milhões, deve igualar em número de cabelos alguma das incluídas nesses cem milhões.

Por forma idêntica se provará o erro dos naturalistas, quando afirmam que a natureza nunca faz dois objectos absolutamente iguais, quer sejam folhas de plantas quer caras de gente. O ponto é mostrar que as diferenças existentes entre as folhas ou entre as caras são menos que o número total de folhas ou de caras que há no mundo. Note-se que a população do mundo, num dado momento, sobe a um número respeitável de centenas de milhão. Se considerarmos o número de entes humanos que hajam vivido, suponhamos, durante os últimos mil anos, chegaremos a / 177 / números tão elevados que a imaginação mal os concebe. É indubitável que esse número há-de exceder muito quaisquer diferenças perceptíveis aos nossos deficientes sentidos num objecto de tamanho tão limitado como uma cara humana. Por conseguinte, a conclusão inevitável é que cada indivíduo possui ou possuiu no passado um duplicado da sua pessoa, pelo menos, provavelmente muitos, absolutamente idênticos no aspecto. Por extraordinária que esta conclusão nos pareça, não há meio de fugir à convicção de que ela não é um simples capricho de fantasia, mas uma verdade positiva. Veja-se como este facto tem sido aproveitado pelos escritores de obras de imaginação, e repare-se como é frequente aparecerem nos tribunais casos de erro de identidade.

ARMADILHAS AO PENSAMENTO

Suponham que um cavalo e uma vaca estão deitados em diferentes pontos de um campo que tem de comprido o dobro da largura. Qual será a diferença entre a maneira por que os dois animais se levantam? Experimentem fazer esta pergunta a um amigo lavrador, e vejam se encontra sem hesitação a resposta, por mais inteligente e vivo que seja. E no entanto ela é simplicíssima: ainda que o campo tenha de comprido cinquenta vezes a largura, o cavalo levantar-se-á primeiro nas patas dianteiras, e a vaca nas traseiras, sem se importarem nada com as dimensões do campo.

Menos desculpa terá o lavrador que sucumba à anterior pergunta mistificadora, do que o relojoeiro de aldeia que caia na seguinte esparrela. Conte-lhe o leitor que há pouco fez encomenda de uma corrente de relógio, mas que devido a qualquer equívoco, o ourives forneceu, não uma corrente completa, mas seis pedaços contendo cada um quatro elos para a cadeia. Deseja o leitor que lhe unam esses pedaços; se o relojoeiro quer encarregar-se desse trabalho, pagar-lho-á à razão de um tostão por cada elo que ele abrir, e outro tostão por cada elo que ele fechar. Se ele estiver de acordo, pergunte-lhe qual é a importância total.

Segundo todas as probabilidades, ele responderá imediatamente: «Dez tostões», explicando-lhe que para unir as secções ele terá que abrir e fechar pelo menos cinco elos. «Não há tal!» replicará o leitor. «Se eu lhe pagar conforme as condições propostas, não tenho que lhe dar mais de oito tostões».

Se ele fizer questão, o leitor tratará de lhe mostrar que, caso ele pegue numa das secções e abra os quatro elos de que ela é formada bastarão eles para unir numa cadeia as restantes cinco secções. Ele não terá remédio senão admitir que a razão está da parte do leitor.

Muitas perguntas terão igualmente resposta pronta, a qual, conforme o desejo do mistificador, será errónea.

Entre elas há aquela velhíssima: «Quem é o pai dos filhos de Zebedeu?» Uma da mesma família se costuma fazer em Inglaterra: «Noé teve três filhos, Sem, Cham e Jafet. Quem foi o pai deles?» E outra também curiosa é a seguinte: «Quem foi o matador de Caim?» Qualquer pessoa desprevenida responderá quase invariavelmente: «Abel». É espantosa a quantidade de gente, aliás esperta que deixará de dar a devida resposta às perguntas antecedentes, quando enunciadas com rapidez e a sério.

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Para Cismar

ADIVINHAR UM NÚMERO

Maneira de atrapalhar as pessoas, com um número de três algarismos.

Peçam a um amigo que ponha um número desses no pensamento. Digam-lhe que inverta a ordem dos algarismos, e que subtraia o menor do maior. Suponhamos que ele pensou no número 487, que invertido dá 784: o resto será portanto 297. Agora o ponto é o seguinte: Depois de ele ter feito as operações indicadas, peçam-lhe que lhes diga o último algarismo do resto. Imediatamente lhe poderão declarar qual é esse resto. É facílimo, porque o algarismo do meio deve ser sempre 9, e a soma dos dois outros deve ser também 9. Assim, sendo o último algarismo 7, no exemplo acima, o primeiro será forçosamente 2. / 178 /
 

AS SECÇÕES DA BATATA

A figura junta representa uma fatia de batata, de feitio especial, na qual se espetaram seis fósforos.

Trata-se de a pôr em cima da mesa, e com uma faca fazer dois cortes em linha recta, de forma que se reparta a batata em seis pedaços, ficando em cada um deles um dos fósforos espetado.
 

O DIÂMETRO DE UMA ESFERA

Ora vamos lá a ver se há quem resolva o engenhoso problema que vamos apresentar, envolvendo princípios de geometria e de física.

Suponham que têm na frente uma esfera, uma bola de bilhar por exemplo, e que precisam determinar-lhe o diâmetro. Não querem riscá-la, nem podem fazer uso do compasso. Nestas condições, como hão de resolver o intrincado problema?

Esperamos as respostas dos estudiosos.
 

UM TESTAMENTEIRO ATRAPALHADO

Isto de testamentos extravagantes é coisa tão vulgar em problemas, que chega a gente a supor que os mortos ficam na outra vida a regalar-se de porem aos vivos dificuldades. Mas casos há em que é a sorte quem cria terríveis embaraços. Aqui têm um exemplo:

Um patusco endinheirado morreu, deixando a viúva em vésperas de lhe dar um herdeiro. (isto, já se vê, aconteceu numa terra onde havia para testar a máxima liberdade). Aberto o testamento, reconheceu-se que continha, em resumo, as seguintes disposições:

Se o filho que estava para nascer fosse varão, ficaria este com dois terços da fortuna, restando para a viúva um terço. Se acaso pelo contrario fosse fêmea, o testador destinava à viúva dois terços da fortuna, reservando para a filha o terço restante. Sucedeu um caso inesperado: nasceram dois gémeos, um rapaz e uma menina. Aflições do testamenteiro!

Como é que nestas condições deve ser repartida a herança, para corresponder à vontade do testador?
 

QUAL É O PARTIDO?

Conheço três amigos, António, Bernardo e Carlos, que se reúnem às noites num clube, onde se entretêm a jogar o bilhar. Mas são de força desigualíssima. O António, quando joga com o Bernardo, dá-lhe 30 de partido às 50. O Bernardo, quando joga com o Carlos, dá-lhe partido igual. É claro que o Carlos nunca se atreveu a medir-se com o António, tal é a diferença entre as suas forças. Mas de uma vez que se encontram os dois sozinhos, o António propõe uma partida. O Carlos aceita, com a condição que o partido seja equitativo, segundo a proporção determinada pelos números acima. Qual será neste caso o partido que o António deve conceder ao seu humilde parceiro?

– O –

Num dos números seguintes, trataremos das soluções dadas pelos nossos leitores aos problemas do n.º 1. E daremos sempre longo prazo, a fim de que os leitores, residentes fora de Portugal, possam ter tempo de enviar-nos quaisquer respostas.

– O –

Primeiro concurso dos SERÕES

Chamamos a atenção dos «fotógrafos amadores» para o programa do nosso primeiro concurso, inserto nas páginas de anúncios.

175-178